设函数f(x)在R上满足f(xy)=f(x)f(y),且f'(1)存在，求f'(x)(x不为0）。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 19:16:29
希望有详细的解答过程。可否令y=1代入，得f(x)=f(x)f(1),再利用公式求导。再令x=y=1代入，可是此时该如何确定f(1)=1还是f(1)=0呢？

f(1)=1，因为如果f(1)=0，那么f(x)=f(x)f(1)=0. 让f(xy)=f(x)f(y)分别对x，y求导，最后积分，可以得到f(x)=Cx,C为常数，因此f'(x)=C.

一楼的结果明显错误，举一个很简单的例子，f(x)=x^2,那么，f(x)在R上都满足f(xy)=f(x)f(y),并且f'(1)存在。但是f'(x)不是常数。实际上，幂指数大于1的所有幂函数，都满足题意。条件应当不够··

不用，直接令x=y
f(x^2)=f(x)^2
两边同时对x求导
f'(x^2)*2x=2f(x)*f‘（x)
把x=1代入，必有f(1)=1

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设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y属于R,有f(x+y)=f(x)·f(y),f(1)=2. 定义在R上的函数满足：f(x)=f(4 - x)且f(2 -x)+f(x - 2)=0,求f(2000) 定义在R+上的增函数f(X)且满足f(x/y)=f(x)-f(y)对任意x,y∈R+恒成立。 ·定义在R+上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y) 当x>y,f(x)>f(y);f(x)+f(x-3)<=2求x的范围 设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)， 设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)是（ ）？ 定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),当m>0,f(x+m)<f(x),则不等式f(x)+f(x^2)<0的解集是 定义在R上的函数f（x)满足f(-x)=-f(x),且x＞0时，f(x)=x|x-2|, 求x＜0时，f(x)的解析式。 设f(x)是R上的函数且满足f(0)=1,并且对任意实数x.y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)求f(x)的表达式 已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)-f(x+2)f(x)-f(x)=1, f(1)=-1/2, f(2)=-1/4则f(2006)=?