中值定理习题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 15:22:04
已知f(x)在[0,+无穷]上可导，f(0)=0,|f'(x)|<=|f(x)|，求证：f(x)=0.
希望高手指教！
感激不尽！

这道题很简单啊，由题设条件，在[0,x]上用拉格朗日中值定理，有
|f(x)-f(0)|=|f'(m1)|x≤|f(m1)|x,讲x限制在[0,1/2]上，
就有|f(x)|≤|f(m1)|/2,如此应用n次有|f(x)|≤|f(mn)|/2^n,由于f在[0,1/2]连续，因而有界，故|f(x)|≤M/2^n,令n趋于无穷，就有f（x）=0，同理可证在一切[(i-1)/2,i/2]上有f（x）=0，因此f(x)=0