高中数学题(专家进)?

楼上的。楼主说高中的就不能求导了
得另想辙
令x=1，f（1）=1+ln2>k/2,k<=2
设k=2时，存在x，有f(x)<2/(x+1)
[1+ln(x+1)]/x<2/(x+1)
(x+1)[1+ln(x+1)]<2x
x+1+(1+x)ln(x+1)-2x<0
1-x+(1+x)ln(x+1)<0
1+ln(1+x)+[ln(x+1)-1]x<0
[ln(x+1)-1](x+1)+2<0

而[ln(x+1)-1](x+1)>2(ln1-1)=-2
所以假设不存在
所以k最大值为2

3

令 F(x) = (x+1)f(x)
则 F(x) = 1 + (1/x)·(1 + (x+1)ln(x+1))
F'(x) = ((x+1)ln(x+1))'·(1/x)-(1/x^2)·((x+1)ln(x+1)+1)
= (1/x^2)(x + xln(x+1) - xln(x+1) - ln(x+1) - 1)
= (1/x^2)(x - ln(x + 1) - 1)

当 x > 0 时 (x-ln(x+1)-1)' = 1 - 1/(x+1) > 0
(x-ln(x+1)-1) 为单调递增的连续函数
且 x = 2 时 x-ln(x+1)-1 = 1 - ln3 < 0
x = 3 时 x-ln(x+1)-1 = 2 - ln4 > 0
故存在 2<x0<3 满足 x-ln(x+1)-1 = 0 (即 ln(x0+1)=x0-1)

当 x > 0 时，在 (0,x0) 区间 F'(x) < 0，在 (x0,∞) F'(x) >0
当 x=x0 时 F'(x) = 0，显然，F(x0) 为 F(x) 在 (0,∞) 上的最小值

F(x0)=(x0+1)*(1+ln(