已知a,b,c都是正数，求证a³/bc+b³/ca+c³/cb大于等于a+b+c

解：

反复应用：平方平均值>=几何平均值
即：x+y >= 2*根号(xy)

技巧：列项

原式= a^3/bc+ b^3/ac+ c^3/ab
= (a^3/2bc+ b^3/2ac)+(a^3/2bc+ c^3/2ab)+(b^3/2ac+ c^3/2ab)
>= 2*根号(a^3/2bc * b^3/2ac)+ 2*根号(a^3/2bc * c^3/2ab)+ 2*根号(b^3/2ac * c^3/2ab)
= ab/c +ac/b+ bc/a
= (ab/2c +ac/2b)+(ab/2c +bc/2a)+(ac/2b+ bc/2a)
>= 2*根号(ab/2c * ac/2b)+ 2*根号(ab/2c * bc/2a)+ 2*根号(ac/2b * bc/2a)
= a+b+c

所以：a^3/bc+ b^3/ac+ c^3/ab >= a+b+c
取等条件：a=b=c

a4+b4>=2×a2b2
b4+c4>=2×b2c2
c4+a4>=2×c2a2
a4+b4+c4>= a2b2+b2c2+c2a2
a2b2+b2c2=b2(a2+c2) >=b2×2ac
b2c2+ c2a2=c2(b2+a2) >=c2×2ab
c2a2+ a2b2=a2(b2+c2) >=a2×2bc
a2b2+b2c2+ c2a2>=b2ac+c2ab+a2bc=abc(a+b+c)
(a4+b4+c4)/abc>=a+b+c