设函数y=f(x),x∈（—∞，＋∞）的图形关于x=a,x=b均对称，（a＜b），求证y=f(x)是周期函数。

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/31 00:21:56

y=f(x),x∈（—∞，＋∞）的图形关于x=a,x=b均对称,可以得出什么结论？为什么？

关于x=a对称则有：f(a+x)=f(a-x)

关于x=b对称则有：f(b+x)=f(b-x)

f(x)=f[a+(x-a)]=f[a-(x-a)]=f(2a-x)=f[b+(2a-x-b)]=f[b-(2a-x-b)]=f[x+2(b-a)]

t=2(b-a)

f(a+x)=f(a-x) ----(1)
f(b+x)=f(b-x) ----(2)
令x=X+b由(1)得:
f(a+X+b)=f(a-X-b)---(3)
令x=X+a由(2)得:
f(b+X+a)=f(b-X-a) ---(4)
令X=-x-b由(3)(4)得:
f(b-x-b+a)=f(b+x+b-a)
即:f(a-x)=f(2b-a+x)
结合(1)得:f(2b-a+x)=f(a+x)--(5)
令:X=a+x.则x=X-a,(5)变为:
f(X)=f(X+2b-2a)

所以为周期函数,其周期为:2(b-a)

设函数y=f(x),x∈（—∞，＋∞）的图形关于x=a,x=b均对称，（a＜b），求证y=f(x)是周期函数。设函数y=f(x)定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对于任意的x,y∈R, 有f(x+y)=f(x)·f(y)成立. 设函数f(x)为奇函数,且对任意x,y∈R都有f(x)－f(y)=f(x－y),当x＜0时,f(x)＞0,f(1)=5 设函数f(x)的定义域为(0,+∞)对任意的x>0,y>0,f(x/y)=f(x)-f(y)恒成立,且当x>1时,f(x)>0. 设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y). 设函数y=f(x)是奇函数, 函数题设f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1 设R为所有实数所组成的集合。设函数 f 对於任何的实数x，y有 f(x+y)+f(x-y)+f(2x)=4f(x)f( x+y 设a∈0,pai/2),函数f(x)定义域为[0,1],f(1)=1,对定义域内任意x,y满足f[2分之(x+y)]=f(x)sina+f(y)(1-sina) 设f(x)是R上的函数且满足f(0)=1,并且对任意实数x.y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)求f(x)的表达式