一道高2数学几何题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 08:01:34
相交成60度的两条直线和一个平面ABCD所成的角分别为30度和45度，求这两条直线在平面内的射影所成的角的余弦值

图参见http://hi.baidu.com/moononthetree/blog/item/7f1921f4b74bd1ee7709d7c7.html

设PE与平面ABCD成45°，PF与平面ABCD成30°。
过P做PG⊥平面ABCD，垂足为G，连接EG，FG
∴∠PEG = 45°
∴∠PFG = 30°
设PG = a，
∵∠PEG = 45°
∴PE = √2a，EG =a
∵∠PFG = 30°
∴PF = 2a，FG = √3a
∵EPF = 60°
∴EF"
= PE"+PF"-2PE×PFcos∠EPF
= 2a" + 4a" - 2×√2a×2a×(1/2)
= (6-2√2)a"
∴cos∠EGF
= (GE"+GF" -EF")/2GE×GF
= [a" + 3a" - (6-2√2)a"]/2a×√3a
=(2√2-2)/2√3
=[(√6)-(√3)]/3