已知f(x)+2f(1/x)=x,求f(x)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 18:09:12
由于难以判断F(X)是何种类型的函数,故不能先设出F(X)的表达式,但如果把条件中的X换成1/X,即得F(1/X)+2F(X)=1/X,把F(X),F(1/X)作为一个整体量,实际上得到了这两个量的方程组.
解得F(X)=(2-X^2)/3X

过程是这样的,但是我不明白为什么能把F(X)换成F(1/X),这样对于所有种类的函数都适用吗?

这是把1/X看做整体 即就当他是Y 假设X=Y 也就是X=1/X 对函数本身没影响
高一学的好象 记不太清了

这种相当于卫达定理中求X1+2X2=Z
自己在假设一个2X1+X2=M
相对来说两者是独立的

这种题目都这样做
回答者：海0525 - 总监 八级 5-6 15:04

因为f(x)+2f(1/x)=x;所以2f(1/x)+4f(x)=2/x;联立方程组得3f(x)=2/x-x
回答者：heguizuo - 试用期 一级 5-6 15:12

只要1/X位于定义域内，就是适用的。
原理很简单，定义域内所有的X都满足那个式子，而如果你让X=A或B或C或D则A、B、C、D都可代入，换句话说，A、B、C、D都满足那个式子，而这几个A、B、C、D可以是定义域内的一切数，所以说如果1/X位于定义域内，那么它当然也可以满足那个式子，当然也可以代入
回答者：magic24 - 助理 二级 5-6 20:27

此题为一函数方程题,由题可知方程对一切实数成立,所以只需将x替换成1/x即可解一由f(x)和f(1/x)构成的二元一次方程组，加减消元即可得到f(x)的解析式
解得f(x) = -x/3-2/(3x)

这样的代入只适用于含有f(x)、f(1/x)项的式子，对于关于f(x)、f(-x)的题目还是不行啊！总之，原理就是一条：建立可解的方程组！

x(f)

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