在三角形ABC中,角ABC=2角C,AD垂直BC,延长AB至点E,使BE=BD,连接ED并延长,交AC于点F,求证:AF=FC

证明：

因为BE=BD

所以，角BED=角BDE

又因为角ABC=角BED+角BDE（外角等于不相邻的两个内角和）

所以角ABC=2角BDE

又因为角ABC=2角C

所以角BDE=角C

又角BDE=角FDC（对角相等）

所以角FDC=角C

所以FD=FC

因为角ABC=角C+角FDC

角AFD=角C+角FDC

所以角ABC=角AFD

因为AD垂直于DC，所以角ADC为直角

所以角DAF+角C=90度

角ADF+角FDC=90度

又因为角C=角FDC

所以角ADF=角DAF

所以，AF=FD

又因为FD=FC

所以，AF=FC

因此得证

证明：
∵BE=BD
∴∠E=∠BDE
∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE=2∠FDC
∠ABC=2∠C
∴∠FDC=∠C
∴DF=CF
∵AD⊥BC
∴∠FDC+∠FDA=90º
∠C+∠FAD=90º
∴∠FDA=∠FAD
∴DF=AF
∴AF=CF