拉格朗日中值定理的逆命题到底是否成立？

逆命题不成立。
举个反例即可：设，
2x x<=0
f(x)=
x-1 x>0
则在(-1,1)上有点1/2,使得f(1)-f(-1)=2=f'(1/2)(1-(-1))
但是，明显的，f(x)在点0不连续，当然也不可导。