正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3,EB=1.在AC上有一点P。使EP+BP为最短，则ED等于多少？

证明：连接BP
因为：AP=AP AB=AD 角DAP＝角BAP
所以：三角形DAP全等于三角形BAP
所以：PB=PD
所以：PB+PE＝PD+PE
因为：两点之间线段最短
所以：D、P、B三点在同一直线上时取到最小值
所以：最小值＝三角形DAE斜边的边长
所以：最小值为根号(3的平方+4的平方)=5

ED是固定不变的，根据勾股定理ED=5，你问的是EP吧，P点才是运动的。

由题意可知，正方形ABCD的边长为AE+EB=4，角EBP=45度，现设EP=X，则：

三角形EPB中，EB=1，角EBP=45度，EP=X，则由全余弦定理得：

BP^2=X^2+EB^2-2*EB*X*COS角EBP即BP^2=X^2+1-根号2 * X可用X表示BP,

则要使EP+BP最短,可求导后令其等于0就可,这样就可以求出EP的长度了.

要求PB+EP最短.只要作点B关于AC的对称点B'(D)连结B'E(D).那么B'E(D)就是最短的.正方形边长AB=AE+BE=1+3=4.根据勾股定理得:EB'(D)=根号(AE^2+AD^2)=根号(3^2+4^2)=5

勾谷定理
AE2+AD2=ED2
3方+4方=9+16=25
ED=5