函数提问问问

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 00:09:22
某村计划修建一条水渠,其横断面是等腰梯形,底角为120°,两腰与底的和为6m.问应如何设计,使得横断面的面积最大?最大面积是多少?
梯形为ABCD,∠BAD=120°,∠ABC=60°,∠ADC=120°,∠DCB=60°,BC边在下,AD边在上

过A点作DC的平行线，交BC于E
设梯形上低为c，下底为b,腰为a
因为AE//DC，所以,∠AEB=∠DCB=60°，ABE为等边三角形，AECD为平行四边形。
所以有:
b=a+c
2a+b+c=6
面积S=1/2*asin60°*(c+b)=√3/4*a*(6-2a)=√3/4*(6a-2a^2)
=-√3/2*[(a-3/2)^2-9/4]=-√3/2*(a-3/2)^2+9*√3/8
因为-√3/2*(a+3/2)^2<=0,所以当a=3/2时S取最大值为9*√3/8
上低为c=3/4,下低b=9/4,腰为3/2，取最大面积为9*√3/8