数学难题 高一 难难难！！！

偶函数
列四个式子：
f(ab) = af(b) + bf(a)
f(ab) = f((-a)(-b))
= -af(-b) -b(f(-a))
于是2f(ab) = af(b)+bf(a) -af(-b) -bf(-a)

f(-ab) = f((-a)b) = -af(b)+bf(-a)
f(-ab) = f(a(-b)) = af(-b)-bf(a)
于是2f(-ab) = -af(b)+bf(-a)+af(-b)-bf(a)

两个大式子相加：
2f(ab)+2f(-ab) = 0 (全部抵消)
也就是f(ab)=-f(-ab)
也即f(x) = - f(-x)

两个大式子相加：
2f(ab)+2f(-ab) = 0 (全部抵消)
也就是f(ab)=-f(-ab)
也即f(x) = - f(-x)

因为定义域为R
所以在实数范围内任取a,b
设a=-1,b=-1,易求出f(-1)=0
同理，设a=-1,b属于R
则f(-b)=-f(b)+bf(-1)
因为f(-1)=0
所以f(-b)=-f(b)
因为b属于R
所以该函数为奇函数

怎么样？我回答很明白吧，这15分给了吧？

很显然整个定义域为R
令a=0,b=0知f(0)=0
令a=1,b=1知f(1)=0
令a=-1,b=-1知f(-1)=0
令a=-1,则有f(-b)=-f(b)+bf(-1)=-f(b)
故可知其为奇函数

明显可得定义域关于原点对称．
当a=b=1时 f(1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=0
当a=b=-1时 f(1)=-f(1)-f(1) 所以f(－1)=0

当a=-1,b=x时 f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
所以f(x)是奇函数．
By SJTU

应当