UC知道数学高考难题请网上高手帮助2
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 11:41:52
成材之路173-----10
已知1≤x平方＋y平方≤2，u＝x平方＋xy＋y平方（x、y∈R），求u的范围。标准答案；1／2≤u≤3。请写出详尽的步骤才能看懂。
已知1≤x平方＋y平方≤2，u＝x平方＋xy＋y平方（x、y∈R），求u的范围。标准答案；1／2≤u≤3。请写出详尽的步骤才能看懂。
解：设x=rsina,y=rcosa
则x^2+y^2=r^2
所以u=x^2+xy+y^2
=r^2+(rsina)(rcosa)
=r^2(1+sinacosa)
=r^2[1+(sin2a)/2]
因为-1≤sin2a≤1
所以-1/2≤(sin2a)/2≤1/2
所以r^2/2≤r^2[1+(sin2a)/2]≤3r^2/2
即r^2/2≤u≤3r^2/2
因为1≤x^2+y^2≤2
所以r^2/2≥(x^2+y^2)/2≥1/2
3r^2/2≤3(x^2+y^2)/2≤3*2/2=3
所以1/2≤u≤3
0≤(x+y)平方 => 2xy≤x平方+y平方 所以xy≤1
0≤(x-y)平方 => -x平方-y平方≤2xy 所以-1/2≤xy
所以1-1/2≤u≤2+1 => 1/2≤u≤3
用参数方程解
X=R sinA
Y=R cosA 1<=R平方<=2
所以U=R平方乘以（1+sinAcosA)
因为-1/2<=sinAcosA<=1/2
所有得到答案