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(1)证明:设直线OA方程为y=kx,则直线OB的方程为y=(-1/k)x,分别与y=ax^2联立，得A(k/a,k^2/a),B(-1/ak,1/ak^2),由两点式得：(y-k^2/a)/(1/ak^2-k^2/a)=(x-k/a)/(-1/ak-k/a),整理得：y=(k-1/k)x+1/a,当x=0时，y=1/a，所以直线AB过定点(0,1/a).(2)设M(x,y),x=(k/a-1/ak)/2,y=(k^2/a+1/ak^2)/2,可化为：2ax=k-1/k,2ay=k^2+1/k^2,∵(k-1/k)^2=k^2+1/k^2-2,∴4a^2x^2=2ay-2,即AB中点M的轨迹方程为：2a^2x^2-ay+1=0.

(1)设A为（t，at^2),B为(s,as^2)
由于OA垂直OB，则（at^2/t）*（as^2/s）=a^2st=-1，ast=-1/a
由AB点的坐标求直线AB
（at^2-as^2）/（t-s）(x-t)=y-at^2
化简得，a（s+t）x-y-ast=0
所以令x=0，y=1/a代入，就会使上式恒成立。
所以定点是（0，1/a）
（2）AB中点坐标（ （s+t）/2，（as^2+at^2）/2 ）
2a*[（s+t）/2]^2-（as^2+at^2）/2=ast=-1/a
即在曲线2ax^2-y=-1/a
即x^2=y/2a -1/2a^2

(1)随便设两个点坐标，
然后可用向量的点积表示垂直，可以得到横坐标乘积为-1除以a方，
然后直线方程设出来，带入两点坐标，可以求出截距，恒过（0，1/a）
(2)中点坐标公式，中点的横纵坐标可以用刚刚两点的坐标来表示了，然后就可以找到中点横纵坐标的关系了