又又一个数学小题征解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/01 22:13:07
证明:积分号S,积分区间[0,+inf),被积函数 x^n * e^(-x)

该积分与 (n/e)^n * sqrt(2*pi*n) 为等价无穷大量.
看样子，确实要用String 公式，或者至少是证明中有相似之处。但kitutwas的解答，更像是先猜到了结果，然后硬往结果上靠。至于原题中的积分怎样积出来，却没任何解释。

首先,易知x^n * e^(-x)的积分=n！
那么问题等价于：n!等价于(n/e)^n * sqrt(2*pi*n)
上面实际是斯特林公式，给你个网址：
http://hi.baidu.com/vincentz/blog/item/54686c63fa113f630c33fafe.html

PS1.关于积分，把积分号写成S，则：
S[x^n * e^(-x)]dx = S[x^n]d(e^(-x)) = n*{S[x^(n-1)*e^(-x)]dx},再依次这样计算下去得到n！。
实际上这就是常用的“分部积分法”。

PS2.stirling公式的证明过程就蕴含了证明的思路，我简单说下：
log(n!)=log1+log2+...+logn,
上面和lnx在区间[1,n]上的积分形式类似，所以
log(n!)约等于Slnxdx，积分区间为[1,n]。
当然，如果你事先不知道stirling公式，那证明出这个公式还是有些难度的。