三角形ABC中，角A的角平分线交BC于D．已知AB=5.AC=4.求BD比DC的值

遇到角平分线的问题，一般是可以这样解决的：
取AB边一点E使AE=AC=4，因为AD是公共边，角EAD=角DAC，
证得三角形EAD与三角形DAC是全等三角形，
通过A向BC做垂线AF交BC于F，三角形ABD面积=BD*AF/2，三角形ADC面积=DC*AF/2
所以有BD：DC=ABD面积：ADC面积=ABD面积：ADE面积
由D向AB做垂线交AB于G，ABD面积：ADE面积=AB：AE=AB：AC=5：4
所以BD：DC=5：4
遇到角平分线的问题，可以考虑用这种在一条边上取点，使长度等于零一条边的长度，这是一种通用的方法。

BD/DC=AB/AC=5/4

BD/DC=AB/AC

证明
过D点分别向AB AC边做垂线，交AB于点E,交AC边于点F，由角平分线性质可知DE=DF
三角形ABD的面积=AB*DE/2 ADC的面积=AC*DF/2
ABD/ADC=AB/AC
设三角形ABC中BC边上的高的长度为h
又因为三角形ABD的面积=BD*h/2
ADC的面积=DC*h/2

所以三角形ABD与三角形ADC的面积比即：BD与DC的比

过B点做AC的平行线BE
延长AD交BE于E
且BE平行于AC
得出三角形DAC/DEB相似
则BD/CD=BE/AC
又角CAD=BAD
BE平行于AC
得出ABE为等腰三角形
AB=BE
所以BD/DC=AB/AC=5/4

BD/DC=AB/AC=5/4