已知:△ABC中,AB=AC=BC,D是AB延长线上一点,且AB=BD,E是AB的中点,求证:CD=2CE

∵AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∵E是AB的中点,
∴∠BCE=60°/2=30°,CE⊥AB,
∵BD=AB=BC,
∴∠D=∠BCD=∠ABC/2=60°/2=30°,
∴DC=2CE.(30度角所对的直角边等于斜边的一半)

AE：AC=1：2=AC：AD 角A=角A
三角形AEC相似于ACD
EC:CD=1:2
即DC=2CE

连接CD
∵BD=BC
∴∠BDC=∠BCD
又∴∠BDC+∠BCD=∠ABC=60度
∴∠BDC=∠BCD=30度
又∵∠CED=90度
∴Rt△CED中 CD=2CE

证：
因为AB=AC=BC 所以ABC为正三角形。所以角A=角B=角C
又因为AB=BD所以BD=BC. 所以BCD为等腰三角形，则角BCD=角BDC
又有角ABC为60度（正三角形）
而角ABC=角BDC+角BCD（三角形外角）所以角BDC=角BCD=30度
因为正三角形，所以有三线合一，则CE也是AB边上的高线，所以角CED为90度。
三角形CED中，有一个直角，一个30度角。据“直角三角形中30度角所对边为直角所对边的一半”得CE=1/2CD 即CD=2CE
证毕

证明如下:
∵AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形
∵CE平分AB且BC=AC
∴CE垂直AB
∵角ABC是△BCD的外角
∴角BDC+角BCD=60度
又BD=AB=BC
∴角BDC=角BCD=1/2角ABC=30度
∴在RT△DEC中,CE=1/2CD
即CD=2CE