高考数列问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 15:50:23
y=kx-sinx,（0<k<1）当y=0时,x在-3π到3π之间有5个解，由小到大分别为：A,B,C,D,E
证明：E=tanE
(2)证明B,D,E不成等差数列
写一下（2）的完整过程

(1) 证明：由数形结合将函数kx-sinx=0 分解为函数y=kx和y=sinx 如上图可知C=0,且点（E,kE）为函数y=kx和y=sinx的切点。
以下先求函数y=sinx在点（E,sinE）的切线。(利用求导得斜率)易知为：y-sinE=cosE(x-E) 又该切线过点（0，0） 将（0，0）代入切线方程。所以，求得E=tanE.
（2）用反证法.
设B,D,E为等差数列，则B+E=2D。又函数y=kx-sinx为奇函数，所以 B=-D，所以E=3D。将点（E,0）和E=tanE代入函数y=kx-sinx得k=cosE。在求得当D=sinD/cosE。 将E=tanE.和D=sinD/cosE代入E=3D得sinE=3sinD。又E=3D，故知矛盾。所以B,D,E不为等差数列。

证明:令y=kx,y=sinx,作图易知直线y=kx与正弦曲线y=sinx在区间[2π,5/2π]内A处和[-5/22π,-2π]内E处相切,切线的斜率为k.
又y=sinx的导数为cosx,所以在E处的斜率为cosE,所以E处的函数值为sinE=kE=E*cosE,故E=tanE.
(2)用反证法易证.