高一函数应用1！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 13:20:13
已知函数f(x)=(bx+c)/(ax^2+1),(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数，f(x)有最大值1/2，且f(1)>2/5，试求函数f(x)的解析式.
答案是f(x)=x/(x^2+1)，为什么？请告诉我过程，谢谢！！！！！

奇函数
f(-x)=(-bx+c)/(ax^2+1)
=-f(x)=-(bx+c)/(ax^2+1)
所以-bx+c=-(bx+c)
c=-c
c=0

y=f(x)=bx/(ax^2+1)
ax^2y-bx+y=0
这个方程有解则
b^2-4ay^2>=0
4ay^2<=b^2
a>0
y^2<=b^2/4a
f(x)有最大值1/2
所以b^2/4a=1/4
a=b^2
f(1)=b/(a+1)>2/5
a+1>0
两边乘5(a+1)
5b>2a+2=2b^2+2
2b^2-5b+2<0
(2b-1)(b-2)<0
1/2<b<2
b是自然数
b=1
a=b^2=1
f(x)=x/(x^2+1)