AD是三角形ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证AD⊥平分EF.

令EF交AD于P
因为AN平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC
有DE=DF
△AED≌△AFD
所以：AE=AF
又：AE/AF=EP/PF
所以：EP=PF
所以AD平分EF

因为AD是角平分线,所以角EAD和角DAF相同.
又因为DE⊥AB于E,DF⊥AC于F 所以角DEA=角DFA=90度
又因为AD=AD.所以三角形AED和三角形AFD全等 (角角边定理,也是角平分线定理)
所以AE=AF 设EF和AD相交于H点
又因为角EAD和角DAF相同,AE=AF,AH=AH,
所以三角形AEH和三角形AFH全等(边角边定理)
所以EH=EF 角AHE=角AHF 又因为角AHE+角AHF=180度
所以角AHE=角AHF=90度 且EH=FH 所以AH⊥平分EF 即AD⊥平分EF

设 AD EF相交与G点
不难证明 三角形AED全等于三角形AFD

可知道DE=DF,AD是三角形ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,可知DG也是等腰三星级DEF的角平分线,不难证明DE⊥EF,EG=FG

也就是AD⊥平分EF