x.y为正 X+Y=1 求1/X+2/Y最小值 用判别式法和三角换元法 怎么做 要求过程详细

由x＞0，y＞0，x＋y＝1，设x＝(cost)^2，y＝(sint)^2，则

1/x＋2/y
＝1/(cost)^2＋2/(sint)^2
＝[(cost)^2＋(sint)^2]/(cost)^2＋2[(cost)^2＋(sint)^2]/(sint)^2
＝3＋(tant)^2＋2(cott)^2
≥3＋2√[(tant)^2×2(cott)^2]＝3＋2√2

等号成立时，(tant)^2＝2(cott)^2，此时，(tant)^2＝√2，所以，x＝√2－1，y＝2－√2.

所以，1/x＋2/y的最小值是3＋2√2.

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设t＝1/x＋2/y，则t＝1/x＋2/(1－x)，通分得：

t×x^2＋(1－t)x＋1＝0

判别式△＝t^2－6t＋1≥0

解得：t≥3＋2√2

把t＝3＋2√2 代入 t×x^2＋(1－t)x＋1＝0 中得：x＝(t－1)/(2t)＝√2－1，所以，y＝1－x＝2－√2.

所以，1/x＋2/y的最小值是3＋2√2.

判别式法
设k=1/X+2/Y=1/x+2/(1-x)=(1+x)/(x(1-x))
所以
1+x=kx-kx^2
化简得到：
kx^2+(1-k)x+1=0
因为x是有根的，且x>0
判别式=（1-k）^2-4k=
k^2-6k+1>=0

所以k>=3+2根号2(另外一个负根舍去)

三角换元法
令x=(cosa)^2,y=(sina)^2
1/x+2/y
=1/(cosa)^2+2/(sina)^2
=(seca)^2+2(csca)^2
=[(tana)^2+1]+2[(cota)^2+1]
=(tana)^2+2(cota)^2+3
因为(tana)^2+2(cota)^2>=2根号[(tana)^2*2(c