“函数f(x)在点Xo的某一去心邻域内有定义”的确切含义是什么？

我觉得你的问题提得很好，学数学本来就应该这样，凡是都要讲定义，讲定理，不论是高等数学还是数学分析.

邻域（一维）的定义：
a∈R，a的δ邻域是指集合{x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ),（这种邻域又叫球形邻域，因为在几何上看它是关于a点对称的）简称a的邻域。

(a-δ,a+δ)\{a}就叫a的去心邻域。

∞的情况也是类似的：
+∞的δ邻域是指集合（δ，+∞）
-∞的δ邻域是指集合（-∞，-δ）
∞的δ邻域是指集合（-∞，-δ）∪（δ，+∞）

如果说f（x）在x0的去心邻域内有定义，按去心邻域的定义是指，
f(x)在（a-δ，a)∪（a，a+δ）有定义
即要求左右邻域同时有定义。

你说的同济上的那道习题，我没有这本教材所以没看到原题，如果你的题目没打错的话，我你有相同的看法，x=-1和x=3不是可去间断点

可去间断点要求左右极限存在，而且要相等，且不等于函数值

x=-1点的任何左邻域内根本没定义，更谈不上有极限！
x=3点的任何右邻域内也是没定义的，也谈不上有极限！

x=-1和x=3都只存在单侧极限，那里去找左右极限相等！！

我觉得可能是出题人作图时的失误吧，从这两个点两侧把图像在延长一点出去，就对了。

ps：有的书中邻域和球形邻域是有区别的，例如在拓扑学中，它是这样定义的，先定义球形领域，再用球形邻域定义开集，再用开集来定义邻域，他定义凡是包含开集的集合都叫邻域，这个定义就比上面的要宽泛一些，但一般的微积分中应该不会这样定义吧，即使按这个定义，上面的讨论仍然是成立的，因为注意到邻域也必然包含球形邻域。

确切含义:
给你个表达式 0<abs(x-X0)<Y
一般指左、右去心邻域都必须同时有定义

设函数f(x)在点Xo的某一去心邻域内有定义”，这句话是指函数f(x)在除点Xo所有范围
设函数f(x)在某个∞邻域有定义”，应该包括+∞邻域和-∞邻域

虽然说