高二数学题!急急急!我在线等~

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/20 23:28:15

已知x+y+z=1,求证X平方＋Y平方＋Z平方大于等于1／3，开方还能的哪些结果？
可能我没表层清楚,这是先要证明的,我要过程!但先谢谢你!
还有其它结果,谢谢!

先两边平方得：X^2+Y^2+Z^2+2XY+2YZ+2XZ=1
有因为2XY<=X^2+Y^2,2XZ<=X^2+Z^2,2YZ<=Y^2+Z^2
所以x^2+y^2+z^2>=1/3

解：由公式：√〔（a1^2+a2^2+a3^2)/3〕≥(a1+a2+a3)/3
∴得：√〔（x^2+y^2+z^2)/3〕≥(x+y+z)/3
即：√〔（x^2+y^2+z^2)/3〕≥1/3
（x^2+y^2+z^2)/3≥1/9
∴x^2+y^2+z^2≥1/3

(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)>=(x+y+z)^2
这是柯西不等式
代入x+y+z=1这已知条件求出x^2+y^2+z^2的范围

2xy《=x^2+y^2 2xz《=x^2+z^2 2yz《=y^2+z^2
1=（x+y+z）^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz《=3（x^2+y^2+z^2）
所以X平方＋Y平方＋Z平方大于等于1／3