f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 且f(0)≠0,求证:函数是偶函数
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/27 06:58:04
过程
当x=0时,上式为:f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)——a
当y=0时,上式为:f(x)+f(x)=2f(x)f(0)——b
将a式写成关于x的函数为:f(x)+f(-x)=2f(x)f(0)——c
因为f(0)≠0,所以从b式和c式可以得到:
f(x)+f(x)=f(x)+f(-x)
所以:f(x)=f(-x)
得出f(x)是偶函数。
假设x=y=0
则f(0)=1
假设x=0,则
f(y)+f(-y)=2f(y)
f(y)=f(-y)
所以函数是偶函数
令x=y=0
则f(0)+f(0)=2f(0)×f(0)
f(0)=1(舍去f(0)=0)
令x=0
则f(y)+f(-y)=2f(0)×f(y)
f(-y)=f(y)
故证
当x=0时,上式为:f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)——a
当y=0时,上式为:f(x)+f(x)=2f(x)f(0)——b
将a式写成关于x的函数为:f(x)+f(-x)=2f(x)f(0)——c
因为f(0)≠0,所以从b式和c式可以得到:
f(x)+f(x)=f(x)+f(-x)
所以:f(x)=f(-x)
得出f(x)是偶函数。
令x=1,y=1 则有:f(2)+f(0)=2f(1)f(1) ..........(1);
令x=1,y=-1 则有:f(0)+f(2)=2f(1)f(-1)..........(2);
(1)-(2)则有:0=2f(1)f(1)-2f(1)f(-1);
故 2f(1)f(1)=2f(1)f(-1);
所以 f(1)=f(-1)
既f(x)=f(-x)
所以 函数是偶函数
令y=-x就好了
可以得到2f(x)f(y)=2f(x)f(-y)
明显知道f(y)=f(-y)
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x)对任意x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+5(x-y+1)且f(0)=2
函数f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),定义在R上
已知f(x+y)=f(x)+f(y) 求证f(x)=x
函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0
函数f (x) 对一切实数x ,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1) 成立,且f(1)=0。
Y=F(X)是什么?
已知f(x)满足f(1)=1,对于任意的实数x、y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,若x是正整数,则f(x)=?
f(xy)=f(x)+f(y)如何推出f(x)-f(y)=f(x/y)