已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时，f(x)>0。

(1)f(1/2)=0,f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2

(2)f(2)=2f(1)+1/2=1+1/2=3/2
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+1/2=2+1/2=5/2
f(4)=f(1)+f(3)+1/2=7/2
……
猜想f(n)=n-1/2,用数学归纳法证明：f(1)=1-1/2成立。
f(k+1)=f(k)+f(1)+1/2=k-1/2+1/2+1/2=(k+1)-1/2成立。
所以f(1)+……+f(n)=n(n+1)/2-n/2=(1/2)n^2

(3)因为f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,所以f(m+n)-f(m)=f(n)+1/2
不妨设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+1/2
=f(x2-x1)+f(1)
=f(x2-x1+1)-1/2
=f[(x2-x1+1/2)+1/2]-1/2
=f(x2-x1+1/2)+f(1/2)+1/2-1/2
=f(x2-x1+1/2)
注意到x2-x1>0，x2+x1+1/2>1/2,所以f(x2-x1+1/2)>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)为R上的增函数。
证毕！

f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2
f(2)=2f(1)+1/2=3/2
...
f(n)=2F(n-1)+1/2
设F(N)+M=2(F(N-1)+M)
得M=1/2
所以F(N)+1/2=(F(1)+1/2)*2^(N-1)
F(N)=2^(N-1)-1/2
F(1)+...f(n)=2^n-1-n/2
根据f(N)的图像可知在R上单调递增