二次函数y=f(x)满足条件：f(x+1)-f(x)=2x，及f(0)=1。求：①y=f(x)的解析式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 21:52:02
二次函数y=f(x)满足条件：f(x+1)-f(x)=2x，及f(0)=1。求：①y=f(x)的解析式
②y=f(x)当x∈[-1，1]时的最大与最小值及这时x的值

1.
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)-f(x)=[a(x+1)^2+b(x+1)+c]-(ax^2+bx+c)=2ax+a+b
而:f(x+1)-f(x)=2x
即：2ax+a+b=2x
得：2a=2、a+b=0
显然：a=1、b=-1
又：f(0)=1,得c=1
y=f(x)的解析式为：
f(x)=x^2-x+1

2.
因：y=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
得：x=1/2时y=3/4为最小值，且直线x=3/4为y的对称轴，
显然，x=-1时，y=3为最大值。

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=0+0+c=1

f(x)=ax^2+bx+1
f(x+1)-f(x)=2x
a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1=2x
2ax+a+b=2x
(2a-2)x+a+b=0
所以2a-2=0,a+b=0
a=1,b=-a=-1
f(x)=x^2-x+1

y=f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
x∈[-1，1]
对称轴x=1/2，-1比1离对称轴更远
所以x=-1,y最大值=3
x=1/2，y最小值=3/4