已知正数a,b,c,求证:a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥3/2

左边=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3
=0.5*(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
≥0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3
=0.5*3*3-3=3/2
证毕

或利用柯西不等式
[c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)]*[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]>=(a+b+c)^2
而[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]=2(ab+bc+ac)<=2/3*(a+b+c)^2
这是因为(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0
所以c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)>=(a+b+c)^2/[2/3*(a+b+c)^2]=3/2

我的解法不错,信我的没错，兄弟！
应你的要求，解释给你听：
为什么0.5*(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3≥0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3
和0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3 =0.5*3*3-3呢？

这里面两次运用到1个基本公式：
对于正数x,y,z有x^3+y^3+z^3>=3xyz 或者 x+y+z>=3(xyz)^(1/3)

下面证明这个公式：
对于正数x,y,z有 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
因为x,y,z为正数,所以 x+y+z>0
x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=1/2[(x-y)^2+ (y-z)^2+(z-x)^2]>0
所以（x+y+z)(x