证明对勾函数的单调性。

f(x) = log<a> x
<a> 表示 底数

1) a > 1 时
设 定义域内的任意 x1 x2, 满足 0 < x1 < x2
f(x2) - f(x1)
= log<a> x2 - log<a> x1
= log<a> x2/x1

因为 a>1, 以及 x2/x1 > 1 ,所以
log<a> x2/x1 > 0
f(x2) -f(x1) > 0
f(x2) > f(x1)

即 对于 定义域内 任意的 x2 > x1 > 0, 总有 f(x2) > f(x1)
所以 当底数满足 a> 1时, f(x) 是增函数.

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2) 0 < a < 1 时
设 定义域内的任意 x1 x2, 满足 0 < x1 < x2
f(x2) - f(x1)
= log<a> x2 - log<a> x1
= log<a> x2/x1

因为 0 < a < 1, 以及 x2/x1 > 1 ,所以
log<a> x2/x1 < 0
f(x2) -f(x1) < 0
f(x2) < f(x1)

即 对于 定义域内 任意的 x2 > x1 > 0, 总有 f(x2) < f(x1)
所以 当底数满足 0<a<1 时, f(x) 是减函数.