设定义域在R上的函数f(x)=x/x^+a的图像的最高点为P（m,n)

1,首先因为函数是定义在R上的，所以有必有a>0.
对函数求导可以得到f'(x)=(a-x^2)/(x^2+a)^2
于是得到x<-√a或x>√a时，函数是单调减的，-√a=<x<=√a时，函数是单调增的。函数在x=-√a处取得极小值，也是最小值；在x=√a取得极大值，也最大值；所以有函数图象的最高点为(√a,√a/2a)于是有m=√a<1,n=1/2√a<1于是解得1/4<a<1.
2,由（1）知道函数最小值在x=-√a处取得为-1/2√a.
必要条件：因为 对任意x,y,|f(x)-f(y)|<1，而|f(x)-f(y)|的最大值是|1/2√a-(-1/2√a)|=1/√a.只要函数的最大值小于1，那么对于所以有x,y,|f(x)-f(y)|<1恒成立。于是得到√a>1,而m=√a,所以有m>1.
充分性：当m>1时，有|f(x)-f(y)|的最大值为1/√a<1.所以有对于任意的x,y,|f(x)-f(y)|<1
因此充要条件得证。

首先a>0,否则取x^2无限接近-a，f(x)没有最高点
所以xx+a>=2√a*x
等号成立仅当 x=√a

f(x)<=x/2√a*x=1/(2√a),等号可以取到
=>
m=√a
n=1/(2√a)
若m<1,n<1,
=>1/4<a<1

必要性
若|f(x)-f(y)|<1对任意x,y成立
令x=m，y=-m
|f(x)-f(y)|=|n-(-n)|=2n=1/m<1
m>1
充分性
若m>1
由于，f(x)为奇函数，则最低点为(-m,-n)
对任意x,y,|f(x)-f(y)|<=f(max)-f(min)=2n=1/m<1