设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:⑴方程f(x)=0有实根;⑵-2<b/a<-1.
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/02 08:00:44
设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:⑴方程f(x)=0有实根;⑵-2<b/a<-1.
f(0)f(1)=c(3a+b+c)>0
=>
c(3a-a-c+c)>0
=>
ac>0
1.
判别式=
4bb - 12ac
=4(-a-c)^2 - 12ac
=4(aa + cc - ac)
=4((a-c)^2 + ac)>0
2.
f(0)f(1)
=c*(3a+2b+c)
=(-a-b)(2a+b)>0
=>
(a+b)(2a+b)<0
两边同除aa
(1+b/a)(2+b/a)<0
=>
-2<b/a<-1
解:证明:(I)因为f(0)>0,f(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0.
故-2<b a <-1.
(II)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为(-b 3a ,3ac-b2 3a ),
在-2<b a <-1的两边乘以-1 3 ,得1 3 <-b 3a <2 3 .
又因为f(0)>0,f(1)>0,
而f(-b 3a )=-a2+c2-ac 3a <0,
所以方程f(x)=0在区间(0,-b 3a )与(-b 3a ,1)内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
公式没显示出来,抱歉
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