若非0函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)+f(b),当x<0时f(x)>1
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/04/30 03:58:31
2)求证 f(x)为减函数
3)当f(4)=1/16时.解不等式f(x-3)*f(5-x~2)≤1/4
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(1)求证:f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0, 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法:
假设存在 x0, f(x0) = 0
那么对任意 x,f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ,使得 f(x0) = 0
综上所述:f(x) > 0
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(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)
x1 - x2 < 0 ,而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1,恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
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(3)当f(4)=1/16 时,解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4) = 1/16,所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ,舍去 f(2) = -1/4
f(2)