已知函数f(x)=ax2+bx+ c, 且当|x|≤1时，| f(x)| ≤1，求证：当|x|≤2，| f(x)| ≤7。

已知函数f(x)=ax2+bx+ c, 且当|x|≤1时，| f(x)| ≤1，求证：当|x|≤2，| f(x)| ≤7。

因为函数f（x）＝ax2＋bx＋c 为二次函数，故a≠0
令F(x)=f(x)-[f（x1）＋f（x2）]
则F(x1)=f(x1)-[f（x1）＋f（x2）]=-f(x2)
F(x2)=f(x2)-[f（x1）＋f（x2）]=-f(x1)
F（x1)*F(x2)=f(x1)*f(x2)无法判断符号，也就导致无法判定方程根的范围。

PSSSS:我估计你的题目[f（x1）＋f（x2）]前忘了系数1/2,如果题中[f（x1）＋f（x2）]前有系数1/2，此题可得证.以下是纠正题目后的证明，

证明：令F(x)=f(x)-1/2[f（x1）＋f（x2）]
则F(x1)=f(x1)-1/2[f（x1）＋f（x2）]=1/2[f（x1）-f（x2）]
F(x2)=f(x2)-1/2[f（x1）＋f（x2）]=-1/2[f（x1）-f（x2）]
F（x1)*F(x2)=-1/4[f（x1）-f（x2）]^2…①
又f（x1）≠f（x2）故①式 F（x1)*F(x2)=-1/4[f（x1）-f（x2）]^2<0

由此可下结论：必有一实数根在x1与x2之间.（其原理很简单，即如果一条抛物线上两点对应的值的积小于零，必有一个值取正值，另一个取负值，否则负负为正，正正为正.又函数本身连续，所以其必然与x轴有交点，这个交点当然就是方程f（x）＝ [f（x1）＋f（x2）]的一个根了