求证:f(x)=x+1/x在（0，1）上是减函数

设0<x1<x2<1

f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)(1-1/x1x2)

0<x1<x2<1
0<x1x2<1
1/x1x2>1
1-1/x1x2<0
x2-x1>0
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-1/x1x2)<0
f(x)=x+1/x在（0，1）上是减函数

f'(x)=1-1/x^2,当x属于(0,1)时,0<x^2<1,1/x^2>1,所以1-1/x^2<0
即f'(x)<0，所以f(x)在(0,1)是减函数

用定义证明
设有x1，x2满足0<x1<x2<1
f(x1)=x1+1/x1
f(x2)=x2+1/x2
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=x1-x2+1/x1-1/x2
因为x1-x2<0 1/x1-1/x2<0
f(x1)-f(x2)<0
得证

解：对函数求导得f（x）'=1-1/x2 （上式中x2实为x的平方）
1/x2在区间（0，1）上＞1
∴f（x)'在区间（0，1）上＜0
∴原式f（x）在（0，1）上是减函数

设x1 x2 属于（0.1）且x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1+1)/x1-(x2+1)/x2
=(x2-x1)/x1x2
因为x1>x2 所以x2-x1<0
所以上式<0 又因为x1>x2所以在（0，1)是减函数