若a,b,c为整数，且a是的5次方=b的4次方，c的三次方=d的平方 a-c=65 求b-d的值

a^5=b^4,c^3=d^2,a-c=65,求b-d.

解：
设x^4=a x^5=b
y^2=c y^3=d (x,y均为正整数)
则x^4-y^2=65
(x^2+y)(x^2-y)=65
易知x^2+y=13 x^2-y=5
(分解质因数,如果x^2+y=65,x^2-y=1,则x非整数)

解得x=3 y=4
所以b=x^5=243 d=y^3=64
b-d=179

设a的5次方=b的4次方=s，则s既是某数的5次方又是某数的4次方，所以s必然是某数的20次方。令s=k^20。则a=k^4,b=k^5
同理c的三次方=d的平方=n^6,c=n^2,d=n^3
所以a-c=65就是k^4-n^2=65.
即(k^2-n)(k^2+n)=65
这表示65应该分解成两个正整数的乘积，而且这两个正整数之和除以2是平方数。所以只可能是65=5*13.得k^2=9.
所以k=正负3，n=正负4
b-d=k^5-n^3=正负243正负64=307或-307或179或-179