单调有界实数网必收敛怎么证明

你说的是单调有界实数列必收敛吧？这个可以用确界存在定理来证明。

确界存在定理：非空有上界的实数列必有上确界，非空有下界的实数列必有下确界。

证明：不妨设序列是单调增的。那么{Xn}的所有上界构成一个非空的实数列，它有下界（每个Xn都是一个它的一个下界），所以它必有下确界X，下证X就是{Xn}的极限。
首先有X>Xn对所有的n都成立；其次，对任意小量&，必有k使得Xk>X-&，由于Xk单调增，所以
X-&<Xn<X对任意n>k都成立，也即：
|X-Xn|<&,all n>k.
所以X就是{Xn}的极限。