证明函数是单调函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 06:38:50
f(x)是定义在实数集R上的函数，并对任意x,y，有f（x＋y）＝f（x）+f(y)和f(xy)=f(x)f(y)成立,且x不等于y时,f(x)不等于f(y).试证明:
f(x)是单调函数

证明：因为f(x+y)=f(x)+f(y)
取x=y=0代入得f(0+0)=f(0)+f(0)==>f(0)=0
又f(0)=f(x-x)=f(-x+x)=f(-x)+f(x)
所以f(-x)=-f(x)
即其为奇函数
因为f(xy)=f(x)f(y)
设x>0取y=-x得f(-x^2)=f(-x)f(x)
因为f(-x)=-f(x)
所以f(-x^2)=-[f(x)]^2<0
即f(-x^2)<0
所以f(x^2)=-f(-x^2)>0
从而知若x>0则f(x)>0
设X1<X2则
f(X2)=f(X1+X2-X1)=f(X1)+f(X2-X1)
f(X2)-f(X1)=f(X2-X1)
因为X2-X1>0
所以f(X2-X1)>0
所以f(X2)-f(X1)>0
即f(X2)>f(X1)
所以为单调增函数