求解两道不等式问题

1、设两直角边为a,b，则L=a+b+√(a²+b²)，S=½ab
因此a+b≥2√ab=2√(2S)，a²+b²≥2ab=4S，
所以L≥2√(2S)+√(4S）=2(√2+1)√S，
所以2√S≤(√2-1)L
两边平方得4S≤(3-2√2)L²

2、1/A+1/B+1/C=(1/A+1/B+1/C)(A+B+C)=3+(A/B+B/A)+(B/C+C/B)+(C/A+A/C)
≥3+2√(A/B·B/A)+2√(B/C·C/B)+2√(C/A·A/C)=3+2+2+2=9

1、设三边为a,b,c,a^2+b^2=c^2
则L=a+b+(a+b)^(1/2)>=2(ab)^1/2+(2ab)^(1/2)=(2+√2)√(ab)=2(1+√2)√S
所以2√S<=L/(1+√2)=L(√2-1)
平方得4S<=(3-2√2)L^2
当且仅当a=b时等号成立

2、证明：由Hn<=An得
1/A+1/B+1/C>=9/(A+B+C)=9
当且仅当A=B=C=1/3时等号成立。

o(∩_∩)o...呵呵，你学奥数的吧？

第一题，设直角边长分别为a,b
L=a+b+√(a2+b2)≥2√ab+√(2ab)=(2+√2）√（ab)
注意到 S=ab/2,√ab=√2S,代入上面个不等式，得4S≤(3-2√2)L^2

第二题，直接用柯西不等式，（A+B+C）（1/A+1/B+1/C）>=9,变一下就得到了

柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.

令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用