定义在(0,+∞)上的函数f(xy)=f(x)+f(y); 求证f(x/y)=f(x)-f(y)

解:x,y∈(0,+∞)即1/y∈(0,+∞)
由函数f(xy)=f(x)+f(y);可得
f(X)=f(x/y*y)=f(x/y)+f(y)
即f(X)=f(x/y)+f(y)
移项得f(x/y)=f(x)-f(y)

解:
y∈(0,+∞)
所以1/y∈(0,+∞)
f(x*(1/y))+f(y)=f(x*(1/y)*y)=f(x)
f(x/y)=f(x)-f(y)

以上的都好厉害啊！
我讲一种比较另类的证法：
设Y=1 由f(xy)=f(x)+f(y) 得
f(x)=f(x)+f(1) 所以 f(1)=0；
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)=0
即f(x)=-f(1/x)
所以
f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
f(x/y)=f(x)-f(y)

推理（我才高一，知识有限，推理仅供参考）：
因为f(xy)=f(x)+f(y)
即输入x和y值分别代入f法则，和输入xy值是一样的
可以推出f(x)是对数函数
所以很容易就推出f(x/y)=f(x)-f(y)

解 令m=xy>0 则 y=m/x
f(m)=f(x)+f(m/x)
移项 f(m/x)=f(m)-f(x)
把m换成x x换成y
得证

解：∵y∈(0,+∞)
∴1/y∈(0,+∞)
∴f[x×(1/y)]+f(y)=f[x×(1/y)×y]=f(x)
∴f(x/y)=f(x)-f(y)