对于函数y=f(x)(x∈D,D是此函数的定义域),若同时满足下列条件
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/20 18:40:25
⑴求闭函数y=-x^3符合条件②的区间[a,b]
⑵判断函数f(x)=(3/4)*x+1/x(x>0)是否为闭函数?并说明理由
⑶若y=k+根号(x+2)是闭函数,求实数k的取值范围.
请告诉我答案及解题过程!!!谢谢!!!
解:(1)、易得:y=-x^3是[a,b]上的减函数
∴f(a)=-a^3=b
f(b)=-b^3=a
∴f(b)/f(a)=a/b=-b^3/-a^3
∴a/b=±1
又∵-a^3=b,
∴a=-1,b=1
∴所求区间为[-1,1]
(2)、∵f ′(x)=3/4-1/x^2,x∈(0,+∞),
令f ′(x)=3/4-1/x^2>0,得x>(2/3)√3
∴x>(2/3)√3时,f(x)为((2/3)√3 ,+∞)上的增函数。
令f ′(x)=3/4-1/x^2<0,得0<x<(2/3)√3
∴f(x)为(0,(2/3)√3 )上的减函数.
∴f(x)不是(0,+∞)上的单调函数.
∴f(x)不是(0,+∞)上的闭函数.
(3)、易知f(x)=k+√(x+2)是[-2,+∞)上的增函数.由√(x+2)≥0,得f(x)≥k (*)
设f(x)=k+√(x+2)满足条件②的区间是[a,b]
则f(a)=a,f(b)=b,由此可知
方程f(x)=x的两根是a,b,且a≠b
整理方程f(x)=x得
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
△=(2k+1)^2-4(k^2-2)=4k+9
令△>0,解得k>-9/4
x1=[(2k+1)-√(4k+9)]/2,x2=[(2k+1)+√(4k+9)]/2
由(*)得x1≥k,解得-9/4≤k≤-2