利用函数的单调增减性证明3-1/x＜2√x (x＞1)的不等式

f(x)=3-1/x-2√x
f′(x)=x^(-2)-x^(1/2)＜0,解得x＜1
所以f(x)=3-1/x-2√x的减区间为（1，＋∞），又f（1）=0
所以x＞1,f(x)=3-1/x-2√x＜0,3-1/x＜2√x

令y=3-1/x-2√x
=====> y'=1/x^2-1/√x=[√x-x^2]/x^2.5
x>1 ==> √x<x,x^2>x ==>√x<x^2==y'<0
y在x>1时单调递减y<y(1)=0 ===> 3-1/x-2√x<0
====> 3-1/x＜2√x (x＞1)

对于不等式3-1/X<2(X)^1/2 (X>1),不妨设1/(x)^1/2=t, 则愿不等式可变为 3- t^2<2t, 即证明t^2+2t-3>0,此时0<t<1. 设F(x)=t^2+2t-3,利用函数的单调性即可证明。