猜想：一个函数在导数存在的每一个范围内，该导函数一定连续。

反例很多，如g(x)=x^2×sin(1/x)除x=0外处处可导且g'(x)=2x×sin(1/x)-cos(1/x)，如果补充定义g(0)=0，则由导数定义可求得g'(0)=0，
但显然lim(x->0)g'(x)≠g'(0)。因此g(x)的导函数不在包含x=0的区间内连续。

首先需要弄明白的一点是，导函数也是函数，并没有什么实质性的差异。所以，只要好好看看函数的连续性一章内容应该能解决问题。

反例如下：
你将一个连续可导函数断掉，然后把其中的一段向上或者向下平移一段距离。他们的导函数是连续的但是函数不连续。

我帮你系统的回答一下：一个函数在某区间连续则称为连续函数，一个函数的n阶导数在此区间内连续则称为连续的n阶导函数。（在某区间内，函数连续与其导函数连续之间的关系）
第一，函数连续可以得出其导函数连续的情况：x在[0,1]上，f(x)=x~2(x的平方)连续，导函数f‘(x)=2x在[0,1]连续；
第二，函数连续得出其导函数不连续的情况(>=表示大于等于号，x~2表示x的平方)：分段函数x>=0时，f(x)=x~2 + x；x<=0时，f(x)=x~2 - x，在负无穷到正无穷上连续。导函数在x>0时f‘(x)=2x+1；x<0时，f‘(x)=2x-1；x=0时导数不存在；那么在负无穷大到正无穷大上导函数f‘(x)不连续，在x=0点存在第一类间断点（跳跃间断点）；
第三，函数连续无导数的情况，就谈不上导数是否连续了。（比如图形带尖点的函数）
第四，若函数f(x)不连续，那么那么它存在间断点，此点一定不存在导数，整个区间上不可导，更谈不上是否连续。