已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在BC边上任取一点D,过点D作DE⊥AB,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 13:12:13
已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,在BC边上任取一点D，过点D作DE⊥AB,
DF⊥AC垂足分别为点E和点F ① DE,DF与BC之间存在一定的数量关系吗？
② 若点D为BC上的一动点，问DE,DF与BC之间还存在一定的数量关系吗？

1):BC=2(ED+DF)
证明:AB=AC,∠BAC=120.∠ABC=∠ACD=30,又DE⊥AB,DF⊥AC.△DEB,△CFD是
直角三角形,(直角三角形中.30度角所对的直角边是斜边的一半).所以
ED=1/2BD,DF=1/2DC.BC=BD+DC,所以BC=2(ED+DF)
2):还是存在BC=2(ED+DF),因为这个关系与D点在BC上的位置无关.1)中已给出了证明.

因为角BAC=120 AB=AC 所以角ABC=角ACB=30 因为DE,DF分别垂直于AB,AC 所以DE=1/2BD DF=1/2CD 则 ED+DF=1/2(BD+CD)=1/2BD

过A作AF,使得AF=AD,且∠CAF=∠BAD,连接CF,(△CAF在△ABC的外面).
因为∠DAE=45°，所以∠BAD+∠CAE=45°，且∠CAF=∠BAD
则∠CAF+∠CAE=∠EAF=45°=∠DAE
因为∠EAF=∠DAE，AF=AD,AE=AE,所以
△DAE≌△FAE,则 DE=EF ,CF=BD
对于△ECF，∠ECF=90° -->EF^2=CE^2+CF^2
代入DE=EF ,CF=BD
所以,DE^2=CE^2+BD^2