高一：奇偶函数的公式证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 12:31:57
如果f(x)定义域关于原点对称，那么F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。
这样就可以把f(x)表示成f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]的一个偶函数与一个奇函数的和，即任何一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数，一个偶函数之和。

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请问这个到底是怎么得出来的，我连第一步都看不懂，能否帮忙证明一下。。。

....首先函数的拥有奇偶性的条件是定义域关于原点对称
F(x)=f(x)+f(-x)
F（-x）=f（-x）+f（x）=F(x) 所以F（x）是偶函数
G(x)=f(x)-f(-x)
G(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(-x) 所以G（x）是奇函数
f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
不就是f（x）=1/2F(x)+1/2G(x)么
所以说可以写成一个奇函数和一个偶函数之和

F(x)=f(x)+f(-x)
F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(-x) 所以偶
G(x)=f(x)-f(-x)=
G(-x)=f(-x)-(-(-x))=-[f(x)-f(-x]=-G(x) 所以奇

这两个你先看懂
然后把这两个代入 你再想想看
f(x)=1/2F(x)+1/2G(x)
f(-x)=1/2F(x)-1/2G(-x)=1/2F(x)+1/2G(x)=f(x)

所以有这个公式

仔细一步一步看，能看懂的～

没