A,B,C,a,b,c为三角形的三内角与三边长，求证cosB＋cosC＋2a／(b＋c)≥4sin(A/2)

解答：
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab ；
cosB = (a^2+c^2-b^2)/2ac ;
cosA = (b^2+c^2-a^2)/2bc ;
用sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

设：角A的角平分线为AD（交BC于D），AD＝d
三角形面积S＝1/2*cdsin(A/2)+1/2*bdsin(A/2)
所以（b＋c）sin(A/2)＝2S/d

cosB＋cosC＋2a／(b＋c)-4sin(A/2)
=(a^2+c^2-b^2)/2ac +(a^2+b^2-c^2)/2ab +2a／(b＋c)-4sin(A/2)
=.....
........

参考：

用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(