数学,双曲线问题

（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0
当2－k^2=0,k=-根[2],k=根[2]有一个个交点
Δ=〔2(k^2－2k)〕2－4(2－k^2)(－k^2+4k－6)=16(3－2k)
当Δ=0，k= 3/2方程有一个实根，l与C有一个交点
当Δ＞0,即k＜3/2 ,方程有两不等实根，l与C有两个交点
当Δ＜0，即k＞ 3/2时，方程无解，l与C无交点 .

(2)k*OP的斜率=-(x^2的系数)/(y^2的系数)=2
求出k=1时满足题意 .

(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x1^2－y1^2=2,2x2^2－y2^2=2两式相减得 2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB=2
但渐近线斜率为±根2 ,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在 。

(1) 求过点P的直线L的斜率K的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点;
双曲线x的范围为：x^2≥1，即：(-∞,-1]和[1,∞)

若直线L垂直x轴，方程为x=1，与双曲线有一个交点；
不垂直时设L为：y=k(x-1)+2，联立双曲线方程得：
2x^2-(kx-(k-2))^2=2
(2-k^2)x^2+2k(k-2)x-(k-2)^2-2=0……①

⊿=4k^2(k-2)^2+4(2-k^2)((k-2)^2+2)＝48-32k
⊿>0得：k<3/2，有2个交点；
⊿=0得：k=3/2，有1个交点；
⊿<0得：k>3/2，没有交点；

(2)是否存在过点P的弦AB,使AB的中点