数学,导数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 15:34:42
设函数f(x)=-cos6^2-4tsin(x/2)cos(x/2)+4t^3+t^2-3t+4,x属于R,其中t的绝对值小于等于1,将f(x)的最小值记为g(t).
(1)求g(t)的表达式;
(2)讨论g(t)的区间(-1,1)内的单调性并求其极值

f(x)
=(sinx)²-2tsinx+4t³+t²-3t+3
=(sinx-t)²+4t³-3t+3
因为x属于R，所以sinx可在[-1，1]任意取值
因为|t|<=1，于是可取sinx=t
f(x)>=4t³-3t+3
所以g(t)=4t³-3t+3 f(x)
=(sinx)²-2tsinx+4t³+t²-3t+3
=(sinx-t)²+4t³-3t+3
因为x属于R，所以sinx可在[-1，1]任意取值
因为|t|<=1，于是可取sinx=t
f(x)>=4t³-3t+3
所以g(t)=4t³-3t+3,|t|<=1
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对于这道题，要注意，x才是自变量，t只是一个参数。

4tsin(x/2)cos(x/2)=2tsinx
-cosx^2=sinx^2-1
f(x)=sinx^2-1-2tsinx+4t^3+t^2-3t+4=sinx^2-2tsinx+t^2+4t^3-3t+3
=(sinx-t)^2+4t^3-3t+3
当sinx=t时，f(x)最小，g(t)=4t^3-3t+3

g(t)'=12t^2-3
当t=1/2和-1/2时,g(t)'=0 导数>0，函数递增，导数<0,函数递减。
所以，（-1，-1/2）,g(t)递增
（-1/2,1/2),递减
（1/2,1),递增
代入坐标就能求出极致。