矩阵证明题，可能比较难，请数学系的同学帮帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 05:58:53
设A是n阶矩阵，证明：ρ(A)<1的充分必要条件是存在n阶hermite正定矩阵Q使得Q-AQA'>0(A'为A的共轭转置,ρ(A)为A的谱半径)。
我在网上查了一下，你的回答确实引起了我的一些思考，很有道理，但是控制理论我并不熟悉，这个问题也应该能不借助于稳定性理论的概念，而只是作为一个数学题来解决的。

告诉你要点，细节你自己补全。

必要性：取Q=PP'，其中P^{-1}AP是ε-Jordan标准型(次对角非零元不是1，而是ε)，ε充分小即可。
充分性：存在P使得Q=PP'，令B=P^{-1}AP，则I-BB'>0，于是ρ(A)=ρ(B)<=||B||_2=sqrt(ρ(BB'))<1。

这个是Steiner定理，确实不简单，至少对于不熟悉矩阵的人而言。我第一次见到的时候也想了一会儿。

证明 设a是A的任一特征值，x是对应的特征向量，则有
Ax=ax,x'A'=a'x'(a'是复数a的共轭，x'，A'是x,A的共轭转置)
于是得 x'A'QAx=(a'x')Q(ax)=∣a∣^2*x'Qx (∣a∣是a的模)
由条件Q-A'QA是正定的，可得
x'(Q-A'QA)x>0
即x'Qx> x'A'QAx=∣a∣^2*x'Qx
由此得∣a∣<1，由a的任意性于是ρ(A)<1.充分性得证。
如果ρ(A)<1，此时取Q=I（n阶单位矩阵）Q-AQA'=I-AA'正定。必要性得证。

这个在控制论里是有名的李亚普诺夫判据（离散，推广形式），你可以查一下相关书，上面有证明。主要步骤是构造微分方程和李亚普诺夫函数，并结合秩判据。