以锐角三角形ABC两个腰，AC、BC分别做等腰直角三角形，△ACE、△BCF，过C点做AB的

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 06:19:03
跪求答案，拜托大家，小弟积分不多，不能设置太多悬赏，请大家见量！
过C点做AB的垂线，垂足点D，反向延长CD交EF于点G，求证FG=GE
最下面三个字母从左至右依次为A、D、B，上面三个字母从左至右依次为E、G、F，中间那一点的字母是C。标的那些数字都是45°。
CE与CB不在同一直线，且AC、CF也不在同一条直线上。

过 C点做AB的平行线

方法可能麻烦了点，但我暂时想不出更好的办法了，以后再有简便的再来告诉你吧！

解：
连结BE、AF，设BE与AF的交点为O、BE与DG的交点为Q、AF与DG的交点为P，过G分别做BE、AF的平行线GN、GM，GN交BF于N，GM交AE于M，连结MN
则在△CEB和△CAF中 CE=CA,CB=CF,∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°+∠ABC=∠BCF+∠ABC=∠ACF
所以△CEB≌△CAF
所以BE=AF,∠CBE=∠CFA
所以∠OQP=∠QCB+∠EBC=∠QCB+∠CFA=180°-∠BCF-∠CPF(△CPF内角和)=90°-∠CPF=90°-∠OPQ
所以∠OQP+∠OPQ=90°
所以AF⊥BE
所以GM⊥GN
所以GM^2+GN^2=MN^2--------------(1)
又在△MCN和△CEB中 CM=(√2/2)CE，CN=(√2/2)CB，∠MCN=∠MCA+∠ABC+∠BCN=45+∠ABC+45=90+∠ABC=∠ECA+∠ABC=∠ECB
所以△MCN∽△CEB
所以MN=(√2/2)BE
由于GN‖BE 所以GN/BE=FG/EF
由于GM‖AF 所以GM/AF=EG/EF
两式左右分别相加 得(GM+GN)/BE=1
所以GM+GN=BE=√2MN---------------(2)
联立(1)(2)可得 GM=GN=(√2/2)MN=(1/2)BE
而又由于GN‖BE
所以GN是△FEB的中位线
所以FG=GE