在三角形中,求证

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 18:07:07
60度＜（角A乘边a＋角B乘边b＋角C乘边c）／a＋b＋c<90度 （abc分别是角ABC所对边

证明：由于对称性不妨设a≥b≥c，又由于在三角形中有性质大边对应大角，所以A≥B≥C，于是aA+bB+cC为顺序排列，由排序不等式可得aA+bB+cC≥(a+b+c)(A+B+C)/3（不知道你会不会这个！）=60°*(a+b+c),即有(aA+bB+cC)/(a+b+c)≥60°(当a=b=c时等号成立），于是不等式的前半部分得证；因为a≥b≥c，所以aA+bB+cC≤aA+aB+aC=a(A+B+C),而三角形中两边之和＞第三边有B+C＞a，所以(aA+bB+cC)/(a+b+c)≤a(A+B+C)/(a+b+c)＜a(A+B+C)/2a=90°，于是得证！

因为 a+b>c,所以a+b+c>2c,
同理：a+b+c>2a, a+b+c>2b
(Aa+Bb+Cc)/(a+b+c)
=Aa/(a+b+c)+Bb/(a+b+c)+Cc/(a+b+c)
<Aa/2a+Bb/2b+Cc/2c
=(A+B+C)/2
=90度
时间不够了，我得下了。