三角形的三边a,b,c成等比数列，公比为q，且a为三角形的最小边长，求q的取值范围和三角形周长的取值范围

分三种情况讨论
第一：q=1,那么a=b=c，则此三角形为等边三角形，符合题意
第二：0<q<1，那么，b=aq，c=aq^2,那么a>b>c,不符合题意中的a为最小边长的的条件
第三：q>1,那么，b=aq，c=aq^2,a<b<c符合题意。三角形构成条件是两短边长只和大于最长边边长，所有有以下关系式a＋b>c，也就是，a+aq>aq^2,最终的结果是解不等式1+q>q^2,解得q<1/2+√5/2
纵上所述1≤q<1/2+√5/2。周长的取值范围为a+b+c=a(1+q+q^2),带入q的定义域，等到周长的取值范围为3a≤周长<(3+√5)a
此外以上解法是在欧几里德几何中的解法，至于在非欧几何（罗氏几何和黎曼几何）中的情况另请高人指点！
注意：
其它两位的答案是(√5-1)/2<q<(√5+1)/2，其实q是不能小于1的，因为题意说a是等比数列的第一个项，而且a也是最短的，所以若公比q小于1的话，b、c就会比a还小了，不符合题中所说的a是最短的条件了，唯有公比q不小于1（(√5-1)/2是小于1的）！

将题目分成两部分：
1.若三边a,b,c成等比数列，求公比q的范围
2.若三边成等比数列，最小边为a，求三角形周长l的范围

解： 1) 设b=aq,c=aq^2
则a,aq,aq^2为三边
而我们容易知道aq永远为长度为中间的那个边。
所以必须满足两个条件 a+aq>aq^2, aq+aq^2>a ==>q^2-q-1<0 ,q^2+q-1>0
隐含条件q>0 所以(√5-1)/2<q<(√5+1)/2 (解方程即可)
2)周长=a+aq+aq^2 q>=1 =a*(1+q+q^2)
根据我们1)中的结果q<(√5+1)/2
所以q^2<(√5+3)/2
所以1+q+q^2<3+√5
而q>=1 所以3<=l<=3+√5